10342. Докажите, что если отрезок B_{1}C_{1}
с концами на сторонах AC
и AB
треугольника ABC
антипараллелен стороне BC
, то B_{1}C_{1}\perp OA
, где O
— центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. При симметрии относительно биссектрисы угла A
отрезок B_{1}C_{1}
переходит в отрезок B_{2}C_{2}
, параллельный стороне BC
. Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Поскольку \angle BAH=\angle CAO
(см. задачу 20), лучи AH
и AO
также симметричны относительно биссектрисы угла A
. Из перпендикулярности AH
и B_{2}C_{2}
следует перпендикулярность OA
и B_{1}C_{1}
.
В частности, если B_{1}
и C_{1}
— основания высот треугольника ABC
, получаем теорему Нагеля (см. задачу 480).
Примечание. Заметим, что центр O_{1}
описанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
лежит на прямой AH
.
Действительно, по доказанному, высота AP
треугольника AB_{1}C_{1}
, проведённая из вершины A
, лежит на прямой OA
. Значит,
\angle C_{1}AO_{1}=\angle PAB_{1}=\angle OAB_{1}=\angle C_{1}AH
(см. задачу 20). Следовательно, точка O_{1}
лежит на AH
.