10412. В треугольнике ABC
точка I
— центр вписанной окружности, точки I_{A}
, I_{C}
— центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC
и AB
соответственно. Точка O
— центр описанной окружности треугольника II_{A}I_{C}
. Докажите, что OI\perp AC
.
Решение. Заметим, что центры вневписанных окружностей I_{A}
, I_{C}
лежат на биссектрисах внешнего угла при вершине B
(рис. 1).
Пусть \angle A=2\alpha
, \angle B=2\beta
, \angle C=2\gamma
. Поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны, то
\angle ABI_{C}=\angle IBI_{C}-\angle IBA=90^{\circ}-\beta,
а так как ABI_{C}
— внешний угол треугольника ABI_{A}
, то
\angle BI_{A}A=\angle ABI_{C}-\angle BAI_{A}=90^{\circ}-\beta-\alpha.
По теореме о вписанном угле
\angle I_{C}OI=2\angle I_{C}I_{A}I=180^{\circ}-2\alpha-2\beta=2\gamma.
Тогда из равнобедренного треугольника I_{C}OI
получаем, что
\angle OII_{C}=90^{\circ}-\gamma.
Пусть M
— точка пересечения прямых OI
и AC
. Поскольку \angle CIM=\angle OII_{C}
, то в треугольнике IMC
\angle ICM+\angle CIM=\gamma+(90^{\circ}-\gamma)=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Эта задача эквивалентна следующей.
В остроугольном треугольнике ABC
известно, что H
— точка пересечения высот AA_{1}
, BB_{1}
и CC_1
, O
— центр описанной окружности, O'
— центр окружности, описанной около треугольника AHC
. Тогда O'H\perp A_{1}C_{1}
(см. задачу 10136).
Рассмотрим исходную задачу. Известно, что H
— центр вписанной окружности ортотреугольника, а точки A
, B
и C
— центры его вневписанных окружностей (см. задачу 4769).
Пусть A_{1}\equiv A
, B_{1}\equiv B
, C_{1}\equiv C
. Тогда H\equiv I
, A\equiv I_A
, C\equiv I_C
, O'\equiv O
.
По доказанному O'H\perp A_{1}C_{1}
, т. е. в обозначениях исходной задачи OI\perp AC
.