10462. Вокруг треугольника ABC
с острым углом C
описана окружность. На дуге AB
, не содержащей точку C
, выбрана точка D
. Точка D'
симметрична точке D
относительно прямой AB
. Прямые AD'
и BD'
пересекают отрезки BC
и AC
в точках E
и F
. Пусть точка C
движется по своей дуге AB
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника CEF
движется по прямой.
Решение. Заметим, что четырёхугольник CED'F
вписанный. Действительно, поскольку D
и D'
симметричны относительно AB
, то
\angle ED'F=\angle AD'B=\angle ADB,
следовательно,
\angle ECF+\angle ED'F=\angle ECF+\angle ADB=180^{\circ}
(рис. 1).
Докажем, что все такие окружности проходят через две фиксированные точки (одна из них D'
), из чего и будет следовать решение задачи. Будем использовать два утверждения.
Утверждение 1. Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно сторон, лежат на описанной окружности этого треугольника (см. задачу 4785).
Утверждение 2. Точка, симметричная ортоцентру треугольника ABC
относительно середины стороны AB
, лежит на описанной окружности этого треугольника и диаметрально противоположна точке C
(см. задачу 6300).
Пусть C'
— такое положение точки C
на окружности, что C'D'\perp AB
(рис. 2). Поскольку D
и D'
симметричны относительно AB
, то D'
— точка пересечения высот треугольника ABC'
(утверждение 1).
Пусть прямые AD'
и BD'
пересекают стороны C'B
и C'A
в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно, а описанные около треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C'
окружности пересекаются в точке P
.
Докажем, что окружность, описанная вокруг треугольника CEF
, также проходит через P
. Пусть M
— середина AB
, а прямая PD'
повторно пересекает окружность в точке Q
. Заметим, что \angle C'PD'=90^{\circ}
, следовательно, точка Q
диаметрально противоположна точке C'
. Значит, Q
симметрична D'
относительно M
(утверждение 2).
Точки A
, B
и D'
фиксированы, значит, фиксированы точки D'
и M
. Следовательно, и положение точки P
на описанной окружности треугольника ABC
не зависит от положения вершины C
на дуге AB
.
Прямые AD'
и QB
перпендикулярны прямой BC'
, поэтому AD'\parallel QB
, т. е. D'E\parallel QB
. Значит, \angle PD'E=\angle PQB
. Четырёхугольник PQBC
вписанный, поэтому
\angle PD'E+\angle PCE=\angle PQB+\angle PCE=180^{\circ}.
Следовательно, все окружности, описанные около треугольников CEF
проходят через две фиксированные точки — D'
и P
. Центры таких окружностей лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к PD'
.
Примечание. Попутно доказано, что точки P
, D'
и M
лежат на одной прямой. Другие свойства точки P
и более общей конструкции можно найти в статье Ю.Блинкова «Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и ещё одна точка!», Квант, 2014, N1, с.43-46.