10488. Даны окружность S
и точки A
и B
вне её. Для каждой прямой l
, проходящей через точку A
и пересекающей окружность S
в точках M
и N
, рассмотрим описанную окружность треугольника BMN
. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки B
.
Решение. Пусть C
— отличная от B
точка пересечения прямой AB
с описанной окружностью треугольника BMN
. Через точку A
проведём прямую, касающуюся окружности S
в точке P
. Тогда
AB\cdot AC=AM\cdot AN=AP^{2}
(см задачи 2636 и 93), откуда AC=\frac{AP^{2}}{AB}
. Это означает, что описанные окружности всех треугольников BMN
проходят через точку C
.
Примечание. Следует исключить случай, когда длина касательной, проведённой из точки A
к окружности S
, равна AB
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.13, с. 59
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.14, с. 57