10577. Диагонали AC
и BD
трапеции ABCD
с основаниями AB=a
и CD=b
пересекаются в точке O
, а \angle AOD=\theta
. Докажите, что если площадь трапеции ABCD
равна ab\tg\frac{\theta}{2}
, то окружности с диаметрами AC
и BD
касаются.
Решение. Пусть AC=p
и BD=q
, а M
и N
— середины AC
и BD
соответственно. Тогда расстояние между центрами окружностей с диаметрами AC
и BD
равно MN=\frac{1}{2}|a-b|
(см. задачу 1226), а так как диаметры окружностей равны \frac{1}{2}p
и \frac{1}{2}q
, то для касания окружностей достаточно доказать, что
\frac{1}{2}|a-b|=\frac{1}{2}|p-q|,~\mbox{или}~|a-b|=|p-q|.
Пусть прямая, проведённая через вершину C
трапеции параллельно BD
, пересекает продолжение основания AB
в точке E
. Тогда BECD
— параллелограмм, поэтому
CE=BD=q,~BE=CD~\Rightarrow~AE=AB+BE=a+b.
По теореме косинусов
(a+b)^{2}=AE^{2}=AC^{2}+CE^{2}-2AC\cdot CE\cos(180^{\circ}-\theta)=p^{2}+q^{2}+2pq\cos\theta=
=p^{2}+q^{2}+2pq\left(2\cos^{2}\frac{\theta}{2}-1\right)=p^{2}+q^{2}-2pq+4pq\cos^{2}\frac{\theta}{2}.
Кроме того,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\theta=\frac{1}{2}pq\sin\theta
(см. задачу 3018).
По условию
S_{ABCD}=ab\tg\frac{\theta}{2}~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}pq\sin\theta=ab\tg\frac{\theta}{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~pq\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=ab\cdot\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}~\Leftrightarrow~ab=pq\cos^{2}\frac{\theta}{2}.
Значит,
(a+b)^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq+4pq\cos^{2}\frac{\theta}{2}=(p-q)^{2}+4ab,
поэтому
(a-b)^{2}=(p-q)^{2}~\Leftrightarrow~|a-b|=|p-q|.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Болгарские математические олимпиады. — 1985
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1988, № 9, задача 5 (1987, с. 138), с. 266