10582. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— медианы треугольника ABC
, а O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— точки пересечения медиан треугольников AA_{1}B
, BB_{1}C
, CC_{1}A
соответственно. Найдите площадь треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, если площадь треугольника ABC
равна 1.
Ответ. \frac{1}{12}
.
Решение. Пусть A_{2}
— точка пересечения медианы AA_{1}
и средней линии B_{1}C_{1}
треугольника ABC
. Тогда A_{2}
— середина B_{1}C_{1}
(см. задачу 1881), а медианы A_{1}C_{1}
и BA_{2}
треугольника AA_{1}B
пересекаются в точке O_{1}
. Тогда A_{1}O_{1}:O_{1}C_{1}=2:1
. Аналогично C_{1}O_{3}:O_{3}B_{1}=B_{1}O_{2}:O_{2}A_{1}=2:1
. Значит, S_{\triangle O_{1}O_{2}O_{3}}=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
(см. задачу 3012), а так как S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}
(см. задачу 1883), то
S_{\triangle O_{1}O_{2}O_{3}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{12}.