10587. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если его диагональ AC
равна 10, отрезок MN
, соединяющий середины сторон AD
и BC
, равен 8, а отрезок PQ
, соединяющий середины сторон AB
и DC
, равен 6.
Ответ. 48.
Решение. Пусть M
, N
, P
и Q
— середины сторон AD
, BC
, AB
и CD
соответственно. Тогда MQNP
— параллелограмм, а его площадь вдвое меньше площади четырёхугольника ABCD
(см. задачу 1204 и 3019).
Пусть O
— центр параллелограмма MQNP
. Тогда
ON=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot8=4,~OP=\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}\cdot6=3,
а так как по теореме о средней линии треугольника PN=\frac{1}{2}AC=5
, то треугольник NOP
прямоугольный с прямым углом при вершине O
. Значит, MQNP
— ромб. Следовательно,
S_{ABCD}=2S_{MQNP}=2\cdot\frac{1}{2}MP\cdot PQ=MP\cdot PQ=8\cdot6=48.