10597. Докажите, что в треугольнике со сторонами a
, b
и c
прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан, перпендикулярна медиане, проведённой к стороне, равной c
тогда и только тогда, когда a^{2}+b^{2}=2c^{2}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности радиуса R
треугольника ABC
со сторонами AB=c
, AC=b
и BC=a
, M
— точка пересечения медиан треугольника, CC_{1}=m_{c}
— его медиана.
Прямые OM
и AA_{1}
перпендикулярны тогда и только тогда, когда OC^{2}-CM^{2}=OA_{1}^{2}-C_{1}M^{2}
(см. задачу 1343), или
R^{2}-\left(\frac{2}{3}m_{c}\right)^{2}=R^{2}-\left(\frac{c}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}m_{c}\right)^{2},
откуда получаем, что 4m_{c}^{2}=3c^{2}
.
По формуле для медианы (см. задачу 4014) 4m_{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}
, следовательно, условие OM\perp CC_{1}
равносильно равенству 3c^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}
, или a^{2}+b^{2}=2c^{2}
.