10600. Треугольник ABC
вписан в окружность; A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— точки пересечения биссектрис с окружностью. Докажите, что S_{\triangle ABC}\leqslant S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны 2\alpha
, 2\beta
и 2\gamma
соответственно. Рассматривая вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, получим, что углы при вершинах A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
равны соответственно \beta+\gamma
, \alpha+\gamma
и \alpha+\beta
.
Пусть радиус окружности равен R
. Тогда
S_{\triangle ABC}=2R^{2}\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma,~S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=2R^{2}\sin(\beta+\gamma)\sin(\alpha+\gamma)\sin(\alpha+\beta)
(см. задачу 4020). Значит,
S_{\triangle ABC}\leqslant S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}~\Leftrightarrow~\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma\leqslant\sin(\beta+\gamma)\sin(\alpha+\gamma)\sin(\alpha+\beta),
а так как \alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}
, то
\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma\leqslant\sin(\beta+\gamma)\sin(\alpha+\gamma)\sin(\alpha+\beta)~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~2\sin\alpha\cos\alpha\cdot2\sin\beta\cos\beta\cdot2\sin\gamma\cos\gamma\leqslant\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma~\Leftrightarrow
~\Leftrightarrow~8\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leqslant1.
что верно (см. задачу 3253).