10604. На сторонах AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
во внешнюю сторону построены прямоугольные треугольники ABP
и ACQ
с прямыми углам при вершинах P
и Q
. Докажите, что отрезок PQ
не превосходит полупериметра треугольника ABC
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда MN
— средняя линия треугольника ABC
, а PM
и QN
— медианы прямоугольных треугольников ABP
и ACQ
, проведённые из вершин прямых углов. Значит,
MN=\frac{1}{BC},~PM=\frac{1}{2}AB,~QN=\frac{1}{2}AC
(см. задачи 1880 и 1109).
Следовательно, по обобщённому неравенству треугольника
p=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AC=PM+MN+CN\geqslant PQ.
Что и требовалось доказать.