10612. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в точке O
. Докажите, что S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}
.
Решение. Первый способ. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон AB
, BC
, CD
и AD
соответственно, O
— точка пересечения отрезков KM
и LN
. Тогда KLMN
— параллелограмм (см. задачу 1204), а O
— его центр.
Пусть h_{1}
, h_{2}
и h_{3}
— расстояния от точек соответственно K
, O
и M
до прямой BC
. Тогда h_{2}=\frac{h_{1}+h_{3}}{2}
, поскольку O
— середина KM
. Кроме того, KL
и ML
— средние линии треугольников ABC
и ABD
. Значит,
S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC\cdot h_{2}=\frac{1}{2}BC\cdot\frac{h_{1}+h_{2}}{2}=\frac{1}{4}BC\cdot h_{1}+\frac{1}{4}BC\cdot h_{2}=
=\frac{1}{2}BL\cdot h_{1}+\frac{1}{2}LC\cdot h_{2}=S_{\triangle KBL}+S_{\triangle MCL}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{4}S_{\triangle ABD}=
=\frac{1}{4}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}).
Аналогично
S_{\triangle AOD}=\frac{1}{4}(S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}).
Следовательно,
S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOD}=\frac{1}{4}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC})=
=\frac{1}{4}\cdot2S_{ABCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон AB
, BC
, CD
и AD
соответственно, O
— точка пересечения отрезков KM
и LN
. Тогда KLMN
— параллелограмм (см. задачу 1204), а O
— его центр.
Отметим точки Q
и R
, симметричные точкам соответственно O
и L
относительно точки M
. Тогда четырёхугольники DMQR
и OLCM
равны, так как они симметричны относительно точки M
. Аналогично, для четырёхугольников AKON
и DSTN
, где T
и S
— точки, симметричные соответственно O
и K
относительно N
.
Пусть прямые QR
и TS
пересекаются в точке P
. Поскольку PR\parallel ON
и TS\parallel OM
, четырёхугольник OQPT
— параллелограмм. Кроме того, стороны и углы четырёхугольника DRPS
соответственно равны сторонам и углам четырёхугольника BLOK
, значит, эти четырёхугольники равны. Следовательно, четырёхугольник ABCD
равновелик параллелограмму OQPT
.
Заметим, что
S_{\triangle PDQ}+S_{\triangle ODT}=\frac{1}{2}S_{OQPT}
(см. задачу 3016), а так как
S_{\triangle PDQ}=2S_{\triangle DQR}=2S_{\triangle COL}=S_{\triangle BOC}~\mbox{и}~S_{\triangle ODT}=S_{\triangle AOD}
(AODT
— параллелограмм), то
S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOC}=S_{\triangle ODT}+S_{\triangle PDQ}=\frac{1}{2}S_{OQPT}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1988/1989, III тур, 9 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 995, с. 102