10620. Докажите, что в неравнобедренном треугольнике одна из симедиан совпадает с высотой тогда и только тогда, когда этот треугольник прямоугольный.
Указание. См. задачу 84.
Решение. Пусть ABC
— неравнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C
, CH
— его высота, CM
— медиана, CL
— биссектриса.
Обозначим \angle CAB=\alpha
. Тогда (см. задачу 1109)
\angle ACM=\angle CAM=\angle CAB=\alpha,
\angle BCH=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Значит,
\angle LCH=\angle LCB-\angle BCH=45^{\circ}-\alpha=\angle MCL.
Следовательно, луч CH
симметричен лучу CM
относительно биссектрисы угла ACB
, т. е. CH
— симедиана треугольника ABC
.
Обратно, пусть высота CH
неравнобедренного треугольника ABC
является его симедианой, т. е. лучи CH
и CM
симметричны относительно биссектрисы CL
этого треугольника. Тогда биссектриса CL
делит пополам угол между медианой CM
и высотой CH
. Следовательно (см. задачу 84), треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
.
Примечание. См. статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.