10630. Окружность проходит через вершины B
и C
прямоугольного треугольника ABC
и пересекает гипотенузу AB
в точке D
. Касательные к окружности в точках C
и D
пересекаются в точке E
. Докажите, что AE=CE
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle ABC=90^{\circ}-\alpha
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle DCE=\angle ABC=90^{\circ}-\alpha,
а так как EC=ED
(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то треугольник CED
равнобедренный, поэтому
\angle CED=180^{\circ}-2\angle DCE=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha.
Тогда (см. задачу 2900) точка A
лежит на окружности с центром E
и радиусом EC=ED
. Следовательно, AE=CE