10646. Сторона квадрата ABCD
равна a
, F
— середина стороны BC
, а прямая, проходящая через вершину A
перпендикулярно DF
, пересекает DF
в точке E
. Найдите BE
.
Ответ. a
.
Решение. Первый способ. Продолжим отрезки DF
и AB
до пересечения в точке P
. Прямоугольные треугольники PBF
и CFD
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому BF=DC=AB
. Значит, BE
— медиана прямоугольного треугольника AEP
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 1109),
BE=\frac{1}{2}AP=AB=a.
Второй способ. Обозначим \angle DAE=\angle FDC=\alpha
. Прямоугольные треугольники FDC
и FAB
равны по двум катетам, значит,
\angle AFB=\angle FFC=90^{\circ}-\alpha.
Из точек B
и E
отрезок AF
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AF
. Вписанные в эту окружность углы ABE
и AFE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ABE=\angle AFE=180^{\circ}-\angle CFD-\angle BFA=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha,
а так как \angle BAE=90^{\circ}-\alpha
, то
\angle BEA=180^{\circ}-\angle ABE-\angle BAE=180^{\circ}-2\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\alpha=\angle BAF.
Значит, треугольник BAE
равнобедренный. Следовательно,
BE=AB=a.
Примечание. Если ABCD
— параллелограмм, F
— середина его стороны CD
, а E
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины A
на DF
, то BE=AB
(см. задачу 2857).