10654. Окружности с центрами A
и B
пересекаются в точках M
и N
. Радиусы AP
и BQ
этих окружностей параллельны и расположены по разные стороны от прямой AB
. Прямая AB
пересекает прямую PQ
в точке C
, а общую касательную окружностей — в точке D
. Докажите, что \angle CND=90^{\circ}
.
Решение. Из подобия треугольников ACP
и BCQ
получаем, что
\frac{AC}{CB}=\frac{AP}{BQ}=\frac{AN}{BN}.
Значит, NC
— биссектриса треугольника ANB
(см. задачу 1510).
Пусть общая касательная окружностей с центрами A
и B
касается их в точках E
и F
соответственно. Из подобия треугольников ADE
и BDF
получаем, что
\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{BF}=\frac{AN}{BN}.
Значит, ND
— биссектриса внешнего угла при вершине N
треугольника ANB
. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны (см. задачу 937), следовательно, \angle CND=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.