10661. Две окружности касаются внутренним образом в точке P
. Хорда AB
большей окружности касается меньшей в точке C
. Отрезки AP
и BP
пересекают меньшую окружность в точках D
и E
соответственно. Известно, что AB=15
, PD=3
и PE=2
. Найдите AC
.
Ответ. 9
.
Решение. Проведём через точку P
общую касательную к окружностям и отметим на ней такую точку T
, чтобы B
и T
лежали по разные стороны от прямой PA
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle PED=\angle DPT=\angle APT=\angle PBA.
Значит, ED\parallel AB
. Тогда
\angle BPC=\angle EDC=\angle ACD=\angle APC,
т. е. PC
— биссектриса угла APB
.
Пусть F
— точка пересечения PC
и DE
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{DF}{FE}=\frac{PD}{PE}=\frac{3}{2}
, а так как ED\parallel AD
, то \frac{AC}{CB}=\frac{DF}{FE}=\frac{3}{2}
. Следовательно,
AC=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}\cdot15=9.
Примечание. В общем виде: AC=\frac{PD\cdot AB}{PD+PE}
.