10663. Через середину K
хорды LM
окружности проведена ещё одна хорда DJ
. На отрезке DJ
как на диаметре построена полуокружность. Перпендикуляр к LM
, восставленный из точки K
, пересекает полуокружность в точке S
. Докажите, что KS=KL
.
Решение. Точка S
лежит на окружности с диаметром DH
, значит, \angle DSJ=90^{\circ}
. Отрезок KS
— высота прямоугольного треугольника DSL
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому KS^{2}=DK\cdot KJ
(см. задачу 2728).
Из теоремы о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627) следует, что
KL^{2}=KL\cdot KM=DK\cdot KJ=KS^{2},
откуда KL=KS
.