10682. В остроугольном треугольнике ABC
проведена медиана BM
. Точки P
и Q
— центры вписанных окружностей треугольников ABM
и CBM
соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников ABP
и CBQ
лежит на отрезке BM
.
Решение. Отметим на BM
точку T
так, что MA=MT=MC
. Поскольку
\angle ABC\lt\angle ATC=90^{\circ}
(см. задачу 3550), эта точка лежит на отрезке BM
. Докажем, что описанные окружности треугольников ABP
и CBQ
вторично пересекаются в точке T
. Действительно, пусть \angle BMA=\varphi
. Тогда
\angle BPA=90^{\circ}+\frac{\varphi}{2}
(см. задачу 4770). С другой стороны, из равнобедренного треугольника AMT
получим, что
\angle A=\angle T=\frac{180^{\circ}-\varphi}{2}=90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}.
Тогда
\angle BTA=90^{\circ}+\frac{\varphi}{2}.
Равенство углов BPA
и BTA
означает, что описанная окружность треугольника ABP
проходит через точку T
(см. задачу 12). Аналогично доказывается, что через T
проходит описанная окружность треугольника CBQ
. Таким образом, эти окружности пересекаются на медиане BM
. Что и требовалось доказать.