10689. В остроугольном треугольнике ABC
прямые, симметричные AB
относительно AC
и BC
, пересекаются в точке D
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на прямой CD
.
Решение. Первый способ. Из симметрий, указанных в условии, следует, что лучи AC
и BC
— биссектрисы внешних углов треугольника ADB
, поэтому C
— центр его вневписанной окружности (см. задачу 1192). Следовательно, DC
— биссектриса угла ADC
. Центр I
вписанной окружности треугольника ADB
также лежит на прямой DC
. Тогда по теореме Мансиона (см. задачу 57) точка O
пересечения прямой DC
и окружности, описанной около треугольника ABD
, — центр окружности, проходящей через вершины A
, B
, а также через центры вписанной и вневписанной окружностей этого треугольника. Таким образом, O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Пусть O
— точка пересечения прямой DC
и окружности, описанной около треугольника ABD
. Докажем, что OA=OB=OC
. Действительно, равенство OA=OB
следует из равенства соответствующих дуг.
Пусть
\angle BAC=\alpha,~\angle ADO=\angle BDO=\angle BAO=\gamma.
Тогда
\angle OAC=\alpha-\gamma,~\angle OCA=180^{\circ}-(\angle ADC+\angle DAC)=
=180^{\circ}-(\gamma+180^{\circ}-\alpha)=\alpha-\gamma=\angle OAC.
Значит, OB=OA=OC
. Отсюда следует утверждение задачи.