10701. Точка D
лежит на стороне AB
треугольника ABC
. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC
, ADC
и BDC
, равны r
, r_{1}
и r_{2}
соответственно. Докажите, что r_{1}+r_{2}\gt r
.
Решение. Пусть S
, S_{1}
и S_{2}
— площади, а p
, p_{1}
и p_{2}
— полупериметры треугольников ABC
, ADC
и BDC
соответственно. Тогда (см. задачу 4452)
pr=S=S_{1}+S_{2}=p_{1}r_{1}+p_{2}r_{2},
поэтому
r=\frac{p_{1}}{p}r_{1}+\frac{p_{2}}{p}r_{2}\lt r_{1}+r_{2},
так как
p=\frac{1}{2}(AC+AB+BC)=\frac{1}{2}(AC+(AD+BD)+BC)=
=\frac{1}{2}(AC+AD+(BD+BC))\gt\frac{1}{2}(AC+AD+CD)=p_{1}
(см. задачу 4268) и аналогично p\gt p_{2}
.
Примечание. 1. См. статью А.Д.Блинкова и Ю.А.Блинкова «Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике...», Квант, 2012, N2, с.45-49.
2. Аналогичное утверждение верно для любого описанного многоугольника (см. задачу 3267).