10704. Точка D
выбрана на гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
так, что окружности, вписанные в треугольники ADC
и BDC
, имеют равные радиусы. Докажите, что S_{\triangle ABC}=CD^{2}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, CD=d
. Пусть I
, I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ABC
, ADC
и BDC
соответственно, L
, M
и K
— точки касания этих окружностей с гипотенузой AB
, r
, r_{1}
и r_{1}
— радиусы окружностей, p
, p_{1}
и p_{2}
— полупериметры треугольников ABC
, ADC
и BDC
соответственно.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки I_{1}
и I_{2}
лежат на отрезках AI
и BI
соответственно. Из равенства радиусов вписанных окружностей треугольников ADC
и BDC
следует, что I_{1}I_{2}\parallel AB
. Значит, треугольники I_{1}II_{2}
и AIB
подобны, поэтому
\frac{II_{1}}{AB}=\frac{r-r_{1}}{r},
откуда \frac{r_1}{r}=1-\frac{II_{1}}{AB}
. А так как I_{1}MKI_{2}
— прямоугольник, то
\frac{r_1}{r}=\frac{AB-MK}{c}=\frac{AM+BK}{c}=\frac{p_1-d+p_2-d}{c}=\frac{p-d}{c},
поскольку p_1+p_2=\frac{b+d+AD}{2}+\frac{a+d+BD}{2}=\frac{a+b+c}{2}+d=p+d
.
Кроме того,
S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BDC}=S_{\triangle ABC},~\mbox{или}~p_{1}r_{1}+p_{2}r_{1}=pr
(см. задачу 452), откуда получаем, что \frac{r_{1}}{r}=\frac{p}{p_{1}+p_{2}}=\frac{p}{p+d}
.
Таким образом,
\frac{p-d}{c}=\frac{p}{p+d}~\Leftrightarrow~p^2-d^2=pc~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~d^2=p^2-pc=p(p-c)=pr=S_{\triangle ABC},
так как p-c=\frac{a+b-c}{2}=r
(см. задачу 217).
Примечание. См. статью А.Д.Блинкова и Ю.А.Блинкова «Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике...», Квант, 2012, N2, с.45-49.