10707. В остроугольном треугольнике ABC
известна высота AP=h
и расстояние t
от вершины A
до ортоцентра H
. Точка M
— середина стороны BC
. Найдите длину биссектрисы AL
этого треугольника, если она делит отрезок MP
пополам.
Ответ. \sqrt{\left(h+\frac{t}{2}\right)h}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а продолжение отрезка AL
пересекает эту окружность в точке Q
. Тогда Q
— середина меньшей дуги BC
, а так как M
— середина хорды BC
, то QM\perp BC
. Прямоугольные треугольники QML
и APL
равны по катету (LM=LP
) и прилежащему острому углу, поэтому QM=AP=h
и QL=AL
. Точки O
, M
и Q
лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к хорде BC
. Поскольку L
— середина хорды AQ
, то OL\perp AQ
. Значит, треугольник OLQ
прямоугольный, а LM
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Кроме того OM=\frac{1}{2}AP=\frac{t}{2}
(см. задачу 1257). Следовательно, (см. задачу 2728)
AL=QL=\sqrt{OQ\cdot QM}=\sqrt{\left(h+\frac{t}{2}\right)h}.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — № 25, с. 259