10715. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Биссектриса AA_{1}
пересекает отрезок B_{1}C_{1}
в точке T
. Прямая, проходящая через точку T
параллельно BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках K
и N
соответственно. Докажите, что TA_{1}\lt KN
.
Указание. См. задачи 10714 и 3601.
Решение. Поскольку KN=\frac{BK+CN}{2}
(см. задачу 10714) и TA_{1}\lt\frac{2BK\cdot CN}{BK+CN}
(см. задачу 3601), то TA_{1}\lt KN
.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.