10722. На плоскости заданы точки O
, M
и A_{1}
, являющиеся соответственно центром описанной окружности, точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрисы угла A
треугольника ABC
с описанной окружностью. Постройте треугольник ABC
.
Решение. Рассмотрим случай остроугольного треугольника.
Предположим, треугольник ABC
построен. Биссектриса угла A
и серединный перпендикуляр к стороне BC
пересекаются в точке A_{1}
— середине дуги BC
, не содержащей точки A
(см. задачу 1743). Ортоцентр H
треугольника лежит на продолжении отрезка OM
за точку M
, причём MH=2OM
(см. задачу 5044) и AH\perp BC
. Если K
— середина стороны BC
, то OK=\frac{1}{2}AH
(см. задачу 1257).
Отсюда вытекает следующее построение. На продолжении отрезка OM
за точку M
откладываем отрезок MH=2OM
. Через точку H
проводим прямую l
, параллельную OA_{1}
. С центром в точке O
строим окружность радиуса OA_{1}
. Точка пересечения этой окружности с прямой l
, лежащая с точкой A_{1}
по разные стороны от прямой OM
, — вершина A
искомого треугольника. На луче OA_{1}
откладываем отрезок OK=\frac{1}{2}AH
. Через точку K
проводим прямую, перпендикулярную AH
. Точки пересечения этой прямой с построенной окружностью — вершины B
и C
искомого треугольника ABC
.
Для тупоугольного треугольника построение аналогично.