10723. Постройте треугольник ABC
по прямой, содержащей сторону BC
, точке пересечения медиан и точке пересечения описанной окружности с высотой, проведённой из вершины A
.
Решение. Пусть нужный треугольник ABC
построен, M
— точка пересечения его медиан, A_{1}
— точка пересечения описанной окружности с высотой, проведённой из вершины A
, O
— центр описанной окружности, H
— ортоцентр.
Точка H
симметрична точке A_{1}
относительно прямой BC
(см. задачу 116), а точка O
лежит на продолжении отрезка HM
за точку M
, причём OM=\frac{1}{2}HM
(см. задачу 5044).
Отсюда вытекает следующее построение. Строим точку H
, симметричную данной точке A_{1}
относительно данной прямой. На продолжении отрезка HM
за точку M
откладываем отрезок MO=\frac{1}{2}HM
. С центром в точке O
строим окружность радиусом OA_{1}
. Точка пересечения этой окружности с лучом A_{1}H
есть искомая вершина A
треугольника ABC
, а точки пересечения с данной прямой — вершины B
и C
.