10724. Точки O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
. Биссектрисы углов A
, B
и C
пересекают описанную окружность в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что прямая OI
проходит через точку пересечения медиан треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Решение. Высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
лежат на прямых AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
соответственно (см. задачу 33), поэтому точка I
пересечения биссектрис треугольника ABC
есть ортоцентр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Ортоцентр I
, центр O
описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
и точка пересечения его медиан лежат на прямой Эйлера этого треугольника (см. задачу 5044).