10725. На сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
отметили такие точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в некоторой точке P
. Докажите, что прямые, проходящие через середины сторон AB
, BC
и AC
параллельно прямым CC_{1}
, AA_{1}
и BB_{1}
соответственно, пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Пусть A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины сторон BC
, AC
и AB
соответственно. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC
и коэффициентом -\frac{1}{2}
треугольник ABC
переходит в треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
. При этом лучи AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
переходят в противоположно направленные им лучи с началом в точках A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
соответственно (см. задачу 5707), а точка P
пересечения лучей AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
в точку пересечения P'
их образов при рассматриваемой гомотетии. Следовательно, прямые, проходящие через середины сторон AB
, BC
и AC
параллельно прямым CC_{1}
, AA_{1}
и BB_{1}
соответственно, пересекаются в точке P'
.
Второй способ. Пусть A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины сторон BC
, AC
и AB
соответственно; A_{3}
, B_{3}
и C_{3}
— точки пересечения прямых, проходящих через точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
параллельно прямым соответственно AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
, со средними линиями соответственно B_{2}C_{2}
, A_{2}C_{2}
и A_{2}B_{2}
треугольника ABC
; K
— точка пересечения AA_{1}
и B_{2}C_{2}
.
Обозначим BC=a
, BA_{1}=x
. Тогда BC_{2}B_{2}A_{2}
и A_{1}KA_{3}A_{2}
— параллелограммы,
C_{2}K=\frac{x}{2},~B_{2}C_{2}=\frac{a}{2},~KA_{3}=A_{1}A_{2}=\frac{a}{2}-x,
C_{2}A_{3}=C_{2}K+KA_{3}=\frac{x}{2}+\frac{a}{2}-x=\frac{a-x}{2},
A_{3}B_{2}=B_{2}C_{2}-C_{2}A_{3}=\frac{a}{2}-\frac{a-x}{2}=\frac{x}{2}.
Значит,
\frac{B_{2}A_{3}}{A_{3}C_{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{a-x}{2}}=\frac{x}{a-x}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}.
Аналогично
\frac{C_{2}B_{3}}{B_{3}A_{2}}=\frac{CB_{1}}{B_{1}A},~\frac{A_{2}C_{3}}{C_{3}B_{2}}=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}.
Тогда
\frac{B_{2}A_{3}}{A_{3}C_{2}}\cdot\frac{C_{2}B_{3}}{B_{3}A_{2}}\cdot\frac{A_{2}C_{3}}{C_{3}B_{2}}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1,
так как по теореме Чевы прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке (см. задачу 1621). Следовательно, по теореме Чевы прямые A_{2}A_{3}
, B_{2}B_{3}
и C_{2}C_{3}
также пересекаются в одной точке.