10726. Окружность пересекает сторону AB
треугольника ABC
в точках C_{1}
и C_{2}
, сторону CA
— в точках B_{1}
и B_{2}
, сторону BC
— в точках A_{1}
и A_{2}
. Докажите, что если прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке, то и прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке, поэтому по теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=1.
Пусть O
— центр окружности, R
— её радиус, OA=a
, OB=b
, OC=c
. Тогда (см. задачу 2636)
AC_{2}\cdot AC_{1}=a^{2}-R^{2},~BA_{2}\cdot BA_{1}=b^{2}-R^{2},~CB_{2}\cdot CB_{1}=c^{2}-R^{2},
C_{2}B\cdot BC_{1}=b^{2}-R^{2},~A_{2}C\cdot CA_{1}=c^{2}-R^{2},~B_{2}A\cdot AB_{1}=a^{2}-R^{2},
поэтому
AC_{2}=\frac{a^{2}-R^{2}}{BC_{1}},~BA_{2}=\frac{b^{2}-R^{2}}{BA_{1}},~CB_{2}=\frac{c^{2}-R^{2}}{CB_{1}},
C_{2}B=\frac{b^{2}-R^{2}}{BC_{1}},~A_{2}C=\frac{c^{2}-R^{2}}{CA_{1}},~B_{2}A=\frac{a^{2}-R^{2}}{AB_{1}}.
Значит,
\frac{AC_{2}}{C_{2}B}\cdot\frac{BA_{2}}{A_{2}C}\cdot\frac{CB_{2}}{B_{2}A}=
=\left(\frac{a^{2}-R^{2}}{AC_{1}}\cdot\frac{BC_{1}}{b^{2}-R^{2}}\right)\cdot\left(\frac{b^{2}-R^{2}}{BA_{1}}\cdot\frac{CA_{1}}{c^{2}-R^{2}}\right)\cdot\left(\frac{c^{2}-R^{2}}{CB_{1}}\cdot\frac{AB_{1}}{a^{2}-R^{2}}\right)=
=\frac{BC_{1}}{AC_{1}}\cdot\frac{CA_{1}}{BA_{1}}\cdot\frac{AB_{1}}{CB_{1}}=\left(\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\right)^{-1}=1.
Следовательно, по теореме Чевы прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
также пересекаются в одной точке.
Аналогично для любого другого случая расположения указанных в условии точек на сторонах треугольника ABC
.
Второй способ. Воспользуемся следующим очевидным утверждением: если O
— точка, равноудалённая от двух параллельных прямых, то эти прямые симметричны относительно точки O
.
Пусть прямые, о которых говорится в условии, пересекаются в некоторой точке M_{1}
. Из сформулированного выше утверждения следует, что при симметрии относительно центра O
данной окружности, прямая, проходящая через точку A_{1}
перпендикулярно стороне BC
, переходит в прямую, проходящую через точку A_{2}
перпендикулярно этой же стороне (точка O
лежит на серединном перпендикуляре к хорде A_{1}A_{2}
, а значит, равноудалена от указанных параллельных прямых). Аналогично для двух других пар таких прямых. Тогда при этой симметрии точка M_{1}
переходит в точку M_{2}
, лежащую на образе каждой из первых трёх рассматриваемых прямых. Следовательно, прямые, проходящие через точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
перпендикулярно соответствующим сторонам треугольника, пересекаются в точке M_{2}
.