10726. Теорема Теркема. Окружность пересекает сторону AB
треугольника ABC
в точках C'
и C''
, сторону CA
— в точках B'
и B''
, сторону BC
— в точках A'
и A''
. Докажите, что если прямые AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в одной точке, то и прямые AA''
, BB''
и CC''
пересекаются в одной точке.
Решение. По теореме Чевы
\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}=1.
Из описанной окружности треугольника A'B'C'
получаем
AC'\cdot AC''=AB'\cdot AB'',~BA'\cdot BA''=BC'\cdot BC'',~CA'\cdot CA''=CB'\cdot CB'',
или
\frac{AB''}{AC''}=\frac{AC'}{AB'},~\frac{BC''}{BA''}=\frac{BA'}{BC'},~\frac{CA''}{CB''}=\frac{CB'}{CA'}.
Перемножив эти три равенства, получаем, что
\frac{AB''}{AC''}\cdot\frac{BC''}{BA''}\cdot\frac{CA''}{CB''}=\frac{AC'}{AB'}\cdot\frac{BA'}{BC'}\cdot\frac{CB'}{CA'},
или
\frac{AB''}{B''C}\cdot\frac{CA''}{A''B}\cdot\frac{BC''}{C''A}=\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}=1.
Следовательно, по теореме Чевы прямые AA''
, BB''
и CC''
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — п.1.33, с. 16
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 16.15, с. 126
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 21.34, с. 199
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1986, № 8, задача 1042, с. 219