10728. На окружности последовательно отметили такие точки A
, B
, C
и D
, что \smile AB=\smile BC=\smile CD
. Докажите, что AC^{2}=AB(BC+AD)
.
Решение. Первый способ. Пусть CH
— высота треугольника ACD
, а BP
— высота треугольника ABC
. Из равенства дуг AB
и CD
следует равенство вписанных углов ACB
и CAD
, поэтому ABCD
— равнобокая трапеция. Значит, AH=\frac{1}{2}(BC+AD)
(см. задачу 1921). Из равенства дуг AB
и BC
следует равенство хорд AB
и BC
и равенство вписанных углов BAC
и CAD
.
Треугольник ABC
равнобедренный, поэтому его высота BP
является медианой. Значит, AP=\frac{1}{2}AC
. Прямоугольные треугольники APB
и AHC
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AP}{QB}=\frac{AH}{AC},~\mbox{или}~\frac{\frac{1}{2}AC}{AB}=\frac{\frac{1}{2}(BC+AD)}{AC},
откуда AC^{2}=AB(BC+AD)
.
Второй способ. Равные дуги стягивают равные хорды. Поэтому
AB=BC=CD,~AC=BD.
По теореме Птолемея (см. задачу 130)
AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD,~\mbox{или}~AC^{2}=AB\cdot BC+AB\cdot AD.
Следовательно,
AC^{2}=AB(BC+AD).