10732. Постройте треугольник ABC
, по данным стороне AB
и отрезку OH
(O
— центр описанной окружности, H
— ортоцентр), если известно, что OH\parallel AB
.
Решение. Предположим, что треугольник ABC
построен. Опустим перпендикуляр OC'
на сторону AB
и продолжим высоту CF
до пересечения с описанной окружностью в точке F'
. Тогда C'
— середина стороны AB
, а точка F'
симметрична ортоцентру H
относительно прямой AB
(см. задачу 4785). Поскольку OH\parallel AB
, получаем, что OC'FH
— прямоугольник, поэтому
C'F=OH,~OC'=HF=FF'.
Значит, отрезок OF'
проходит через середину P
отрезка C'F
. Тогда
OP=\frac{1}{2}OF'=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}OB.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим отрезок AB
, затем — его середину C'
; откладываем на луче C'B
(или C'A
) отрезок C'F=OH
и строим середину P
отрезка C'F
. Далее через точку C'
проводим прямую l
, перпендикулярную AB
, и строим окружность Аполлония отрезка PB
и отношения 1:2
(см. задачу 1826). Точка её пересечения с прямой l
— центр O
окружности, описанной около искомого треугольника ABC
. Наконец, радиусом OA
проводим окружность \Omega
с центром O
, а через точку F
— прямую, перпендикулярную AB
. Точка пересечения этой прямой и окружности \Omega
— вершина C
искомого треугольника.