10738. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
радиусов r_{1}
и r_{2}
соответственно касаются прямой p
в точке P
, причём все другие точки окружности \Gamma_{1}
лежат внутри \Gamma_{2}
. Прямая q
перпендикулярна прямой p
, пересекает её в точке S
, касается окружности \Gamma_{1}
в точке K
и пересекает окружность \Gamma_{2}
, в точках M
и N
, причём точка N
лежит между K
и S
.
а) Докажите, что PK
— биссектриса угла MPN
.
б) Вычислите отношение \frac{r_{1}}{r_{2}}
, если дано, что PN
— биссектриса угла KPS
.
Ответ. б) \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. а) См. задачу 89.
б) Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
соответственно, O_{2}L
— перпендикуляр к MN
. Тогда точки P
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой (см. задачу 1758),
O_{1}K=r_{1},~O_{2}L=r_{2},~LM=LN.
По теореме Пифагора
MN=2LM=2\sqrt{O_{2}M^{2}-O_{2}L^{2}}=2\sqrt{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}.
Поскольку PN
— биссектриса угла KPS
, а SP=SK
, то прямоугольный треугольник PSK
равнобедренный, поэтому \angle NPS=22{,}5^{\circ}
. Значит,
NS=PS\tg22{,}5^{\circ}=\frac{r_{1}\sin45^{\circ}}{1+\cos45^{\circ}}=\frac{r_{1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{r_{1}}{\sqrt{2}+1}=r_{1}(\sqrt{2}-1).
По теореме об угле между касательной и хордой
\angle PMS=\angle NPS=22{,}5^{\circ}.
Тогда
MS=PS\ctg22{,}5^{\circ}=\frac{PS}{\sqrt{2}-1}=r_{1}(\sqrt{2}+1).
С другой стороны,
MS=MN+NS=2\sqrt{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}+r_{1}(\sqrt{2}-1).
Из равенства
r_{1}(\sqrt{2}+1)=2\sqrt{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}+r_{1}(\sqrt{2}-1)
получаем, что r_{1}=\frac{r_{2}}{\sqrt{2}}
. Следовательно,
\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.