10753. Окружность с центром O_{1}
внешним образом касается в точках A
и B
окружностей с центрами O_{2}
и O_{3}
соответственно (см. рисунок). Общие внешние касательные двух последних окружностей пересекаются в точке C
. Докажите, что точка C
лежит на прямой AB
.
Решение. Пусть r_{1}
, r_{2}
и r_{3}
— радиусы окружностей с центрами O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
соответственно. Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому точки A
и B
лежат на сторонах треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
.
Прямая O_{2}O_{3}
проходит через точку C
(см. задачу 1757). Пусть одна из общих внешних касательных окружностей с центрами O_{2}
и O_{3}
касается этих окружностей в точках M
и N
соответственно. Из подобия прямоугольных треугольников CO_{3}N
и CO_{2}M
получаем, что
\frac{CO_{3}}{CO_{2}}=\frac{O_{3}N}{O_{2}M}=\frac{r_{3}}{r_{2}}.
Пусть прямая AB
пересекает прямую O_{2}O_{3}
в точке C'
. Применив теорему Менелая к треугольнику O_{1}O_{2}O_{2}
и прямой AB
(см. задачу 1622), получим, что
\frac{O_{1}B}{BO_{3}}\cdot\frac{O_{3}C'}{C'O_{2}}\cdot\frac{O_{2}A}{AO_{1}}=1,~\mbox{или}~\frac{r_{1}}{r_{3}}\cdot\frac{O_{3}C'}{C'O_{2}}\cdot\frac{r_{2}}{r_{1}}=1,
откуда
\frac{O_{3}C'}{C'O_{2}}=\frac{r_{3}}{r_{2}}=\frac{CO_{3}}{CO_{2}}.
Значит, точка C'
совпадает с C
. Отсюда следует утверждение задачи.