10763. Угол при вершине A
остроугольного треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Докажите, что вершины B
, C
, ортоцентр H
, центр O
описанной окружности и центр I
вписанной окружности лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку H
— точка пересечения высот треугольника,
\angle BHC=\angle180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}
(см. задачу 1176).
Поскольку O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника,
\angle BOC=2\angle BAC=2\cdot60^{\circ}
(см. задачу 1). Поскольку BI
и CI
— биссектрисы треугольника
\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}
(см. задачу 4770).
Из точек H
, O
и I
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом, следовательно, точки B
, H
, O
, I
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 12).
Примечание. Центр этой окружности — середина меньшей дуги BC
.