10769. Около треугольника ABC
описана окружность. Касательная к этой окружности, проведённая в точке B
, перпендикулярна стороне AC
. Найдите сторону AC
, если AB=20
, BC=15
.
Ответ. 7.
Решение. Проведём диаметр BD
и опустим на него перпендикуляр AH
. Поскольку BD
и AC
перпендикулярны касательной, проведённой в точке B
, то AH
— высота равнобедренной трапеции ACBD
. Диагональ AB=20
этой трапеции перпендикулярна боковой стороне BC=15
.
Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=25,~BH=\frac{AB^{2}}{BD}=\frac{400}{25}=16
(см. задачу 2728), а так как BH=\frac{BD+AC}{2}
(см. задачу 1921), то
AC=2BH-BD=2\cdot16-25=7.