10770. Трапеция ABCD
(AD\parallel BC
) вписана в окружность с центром O
. Найдите площадь трапеции, если \angle AOB=60^{\circ}
, а высота трапеции равна h
.
Ответ. h^{2}\sqrt{3}
.
Решение. Трапеция ABCD
вписана в окружность, значит, она равнобедренная (см. задачу 5003). Пусть BH
— её высота. Тогда отрезок DH
равен полусумме оснований (см. задачу 1921). Вписанный угол ADB
равен половине центрального угла AOB
, поэтому
\angle HDB=\angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOB=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника HDB
находим, что
DH=BH\ctg30^{\circ}=h\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{\triangle ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=DH\cdot BH=h\sqrt{3}\cdot h=h^{2}\sqrt{3}.