10773. Докажите, что если площадь треугольника ABC
равна rr_{c}
, где r
— радиус вписанной окружности, а r_{c}
— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AB
, то \angle C=90^{\circ}
.
Решение. Пусть I_{c}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AB
, M
— точка касания этой окружности с продолжением стороны AC
, p
— полупериметр треугольника, S
— площадь.
Тогда S=pr
(см. задачу 452), а CM=p
(см. задачу 4805). Из равенства rr_{c}=pr
получаем, что
CM=p=r_{c}=I_{c}M,
значит, треугольник CI_{c}M
прямоугольный и равнобедренный. Тогда \angle MCI_{c}=45^{\circ}
, а так как CI_{c}
— биссектриса угла C
, то \angle C=90^{\circ}
.