10788. Диагонали AC
и BD
трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если AC=20
, а высота трапеции равна 12.
Ответ. 150.
Решение. Через вершину C
проведём прямую, параллельную BD
. Пусть P
— точка пересечения проведённой прямой с продолжением основания AD
. Тогда треугольник ACP
прямоугольный, его высота CH
, проведённая из вершины прямого угла, равна 12, а гипотенуза AP
равна сумме оснований трапеции.
По теореме Пифагора
AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16.
Тогда (см. задачу 2728)
AP=\frac{AC^{2}}{AH}=\frac{400}{16}=25.
Следовательно (см. задачу 4668),
S_{ABCD}=S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot25\cdot12=150.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 26.27, с. 190