10790. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне, равной 15, а радиус описанной окружности равен 12,5.
Ответ. 192.
Решение. Пусть BH
— высота равнобедренной трапеции ABCD
с боковыми сторонами AB=CD=15
, а BD\perp AB
.
Отрезок AD
виден из точки B
под прямым углом, значит, AD
— диаметр окружности, описанной около трапеции ABCD
, поэтому AD=2\cdot12{,}5=25
. Отрезок BH
— высота прямоугольного треугольника ABD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
AH=\frac{AB^{2}}{AD}=\frac{225}{25}=9.
Тогда
DH=AD-AH=25-9=16,~BH=\sqrt{AH\cdot DH}=\sqrt{9\cdot16}=12,
а так как DH=\frac{AD+BC}{2}
(см. задачу 1921),
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot AH=DH\cdot AH=16\cdot12=192.