10802. Постройте треугольник по углу, медиане, выходящей из вершины этого угла, и другой медиане.
Решение. Предположим искомый треугольник ABC
построен, \angle BAC=\alpha
— данный угол, AA_{1}=m_{a}
и BB_{1}=m_{b}
— данные медианы. Тогда из вершины A
отрезок BB_{1}
виден под данным углом \alpha
, поэтому точка A
лежит на дуге, построенной на хорде BB_{1}
и вмещающей данный угол \alpha
(см. задачу 12), а точка M
пересечения медиан треугольника ABC
делит отрезки BB_{1}
и AA_{1}
в отношении 2:1
, считая от B
и A
соответственно.
Отсюда вытекает следующее построение. На отрезке BB_{1}=m_{b}
как на хорде строим дугу, вмещающую данный угол \alpha
(см. задачу 2889). С центром в точке M
, делящей отрезок BB_{1}
в отношении 2:1
, строим окружность радиусом, равным отрезку \frac{2}{3}m_{a}
. Если эта окружность пересекает построенную дугу в некоторой точке, то эта точка — вершина A
искомого треугольника ABC
. Наконец, на продолжении отрезка AB_{1}
за точку B_{1}
откладываем отрезок B_{1}C
. Тогда C
— искомая третья вершина треугольника ABC
.
Задача имеет решение, если построенные указанным образом дуга и окружность пересекаются. Число решений равно числу общих точек дуги и окружности. Таким образом, задача либо не имеет решений, либо имеет одно решение, либо два.