10822. В окружность вписан треугольник ABC
, в котором проведены медианы AF
и BK
. Медиану AF
продлили до пересечения с окружностью в точке D
. Найдите стороны AC
и BC
, если BK=63
, AF=45
, FD=24{,}2
.
Ответ. 42; 66.
Решение. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627) CF\cdot FB=AF\cdot FD
, или CF^{2}=45\cdot24{,}2
, откуда находим, что
CF=\sqrt{45\cdot24{,}2}=\sqrt{9\cdot5\cdot2\cdot\frac{121}{10}}=33.
Следовательно, BC=2CF=66
.
Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а продолжение медианы BK
пересекает окружность в точке N
. Тогда
AM=\frac{2}{3}AF=30,~MK=\frac{1}{3}BK=21,~MB=\frac{2}{3}BK=42
(см. задачу 1507). По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд NM\cdot MB=AM\cdot MD
, откуда находим, что
MN=\frac{AM\cdot MD}{MB}=\frac{30(15+24{,}2)}{42}=\frac{5(15+24{,}2)}{7}=\frac{196}{7}=28,
поэтому
NK=MN-MK=28-21=7.
Наконец, AK\cdot KC=NK\cdot KB
, или AK^{2}=7\cdot63
, откуда AK=21
. Следовательно, AC=2AK=42
.