10833. На прямой даны четыре точки A
, B
, C
и D
в указанном порядке. Постройте такую точку X
, из которой отрезки AB
, BC
и CD
видны под равными углами.
Решение. Пусть X
— искомая точка. Тогда XB
и XC
— биссектрисы треугольников AXC
и BXD
, поэтому \frac{XA}{XC}=\frac{AB}{BC}
и \frac{XB}{XD}=\frac{BC}{CD}
(см. задачу 1509). Значит, точка X
лежит на окружности Аполлония для точек A
, C
и отношения \frac{AB}{BC}
, а также на окружности Аполлония для точек B
, D
и отношения \frac{BC}{CD}
. Отсюда вытекает следующее построение.
Строим окружность Аполлония для данных точек A
, C
и данного отношения \frac{AB}{BC}
(см. задачу 1826), а также окружность Аполлония для данных точек B
, D
и данного отношения \frac{BC}{CD}
. Если построенные окружности имеют общие точки, то каждая из них есть искомая точка X
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.