10835. Точки B
и C
лежат на диаметре некоторой окружности. Проведите через них две равные хорды, пересекающиеся на окружности.
Решение. Предположим, что XK
и XT
— хорды окружности, проходящие через точки соответственно B
и C
, лежащие на диаметре, O
— центр окружности. Опустим перпендикуляры OE
и OF
на эти хорды. Равные хорды равноудалены от центра окружности (см. задачу 1673), поэтому OE=OF
. Тогда XO
— биссектриса угла CXB
, значит, \frac{CX}{XB}=\frac{CO}{OB}
. Следовательно, точка X
принадлежит окружности Аполлония точек C
, B
и отношения \frac{CO}{OB}
. Отсюда вытекает следующее построение.
Строим окружность Аполлония для данного отрезка CB
и данного отношения \frac{CO}{OB}
(см. задачу 1826). Каждая точка пересечения построенной и данной окружностей есть искомая точка X
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.