10855. Из всех прямоугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, который имеет:
а) наибольшую площадь;
б) наибольший периметр.
Ответ. а) Квадрат; б) квадрат.
Указание. а) Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними (см. задачу 3018).
б) Среднее квадратичное не меньше среднего арифметического двух неотрицательных чисел (см. задачу 3399).
Решение. Пусть S
— площадь прямоугольника, R
— радиус данной окружности, \alpha
— угол между диагоналями прямоугольника, a
и b
— соседние стороны прямоугольника..
а) Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними (см. задачу 3018), поэтому
S=\frac{1}{2}\cdot2R\cdot2R\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot4R^{2}\sin\alpha\leqslant2R^{2}
(так как \sin\alpha\leqslant1
), причём равенство достигается, когда \sin\alpha=1
, т. е. при \alpha=90^{\circ}
. Значит, искомый прямоугольник — квадрат.
б) Из неравенства \frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
(среднее квадратичное не меньше среднего арифметического двух неотрицательных чисел, см. задачу 3399) следует, что
a+b\leqslant\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}=2R\sqrt{2},
где a+b
— полупериметр прямоугольника, причём равенство достигается при a=b
. Следовательно, наибольший периметр также имеет квадрат.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Прямоугольник, вписанный в окружность», Квант, 2002, N4, с.38-39.