10859. На катете ML
прямоугольного треугольника KLM
как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону KL
в точке P
. На стороне KM
взята точка R
так, что отрезок LR
пересекает окружность в точке Q
, причём отрезки QP
и ML
параллельны, KR=2RM
и ML=8\sqrt{3}
.
а) Найдите отношение LP:PK
.
б) Найдите MQ
.
Ответ. а) 1:3
; б) 4\sqrt{3}
.
Решение. а) Заметим, что LK
не может быть вторым катетом, так как окружность с диаметром LM
пересекает отрезок, а не касается его. Значит, \angle KML=90^{\circ}
.
Обозначим \angle MLR=\alpha
. Четырёхугольник LPQM
— равнобокая трапеция, поэтому
\angle LMP=\angle MLQ=\angle MLR=\alpha,~\angle LKM=\angle LMP=\alpha.
Положим RM=t
, KR=2t
. Тогда MK=3t
. Прямоугольные треугольники LMR
и KML
подобны, так как \angle MLR=\angle LKM
, поэтому \frac{ML}{MK}=\frac{MR}{LM}
, или \frac{8\sqrt{3}}{3t}=\frac{t}{8\sqrt{3}}
, откуда t=8
Проекции катетов на гипотенузу пропорциональны квадратам катетов (см. задачу 1946), значит,
\frac{LP}{PK}=\left(\frac{LM}{MK}\right)^{2}=\left(\frac{8\sqrt{3}}{3t}\right)^{2}=\left(\frac{8\sqrt{3}}{24}\right)^{2}=\frac{1}{3}.
б) Отрезок MQ
— высота прямоугольного треугольника LMR
, проведённая из вершины прямого угла, следовательно (см. задачу 1967),
MQ=\frac{LM\cdot MR}{LR}=\frac{LM\cdot MR}{\sqrt{LM^{2}+MR^{2}}}=\frac{8\sqrt{3}\cdot8}{\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}+8^{2}}}=4\sqrt{3}.