10859. На биссектрисе AP
треугольника ABC
отметили точку M
. Лучи BM
и CM
пересекают стороны AC
и AB
в точках X
и Y
соответственно. Биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
пересекает прямую BC
в точке Q
. Докажите, что прямая XY
проходит через точку Q
.
Решение. По теореме Чевы
\frac{AY}{YB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CX}{XA}=1,
откуда, считая отрезки направленными и учитывая свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509), получим, что
\frac{AY}{YB}\cdot\frac{CX}{XA}=\frac{PC}{BP}=-\frac{AC}{AB}.
Тогда, учитывая свойство биссектрисы внешнего угла треугольника (см. задачу 1645), получим
\frac{AY}{YB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CX}{XA}=-\frac{AC}{AB}\cdot\frac{BQ}{QC}=-\frac{AC}{AB}\cdot\frac{AB}{AC}=-1.
Следовательно, по теореме Менелая точки X
, Y
и Q
лежат не одной прямой. Что и требовалось доказать.