10867. Биссектриса угла
ABC
пересекает описанную окружность
\omega
треугольника
ABC
в точках
B
и
L
. Точка
M
— середина отрезка
AC
. На дуге
ABC
окружности
\omega
выбрана точка
E
так, что
EM\parallel BL
. Прямые
AB
и
BC
пересекают прямую
EL
в точках
P
и
Q
соответственно. Докажите, что
PE=EQ
.
Решение. Первый способ. Продлим отрезок
EM
до пересечения с окружностью в точке
D
. Докажем, что треугольники
BPQ
и
DAC
подобны, причём отрезку
BE
соответствует медиана
DM
.
Без ограничения общности, будем считать, что точка
P
лежит на продолжении
AB
. Учитывая, что между параллельными хордами
BL
и
ED
заключены равные дуги, а биссектриса
BL
делит дугу
AC
на две равных, получим, что
\angle BPQ=\angle APL=\frac{\smile AL-\smile BE}{2}=\frac{\smile CL-\smile DL}{2}=\frac{\smile CD}{2}=\angle DAC

(см. задачу 27). Аналогично,
\angle BQP=\angle BQE=\frac{\smile CL+\smile BE}{2}=\frac{\smile AL+\smile LD}{2}=\frac{\smile ALD}{2}=\angle DCA

(см. задачу 26). Значит, треугольники
BPQ
и
DAC
подобны. Осталось заметить, что углы
QBE
и
CDM
равны, так как они опираются на одну дугу. Значит, медиане
DM
треугольника
CDM
соответствует отрезок
BE
, и он сам является медианой треугольника
BPQ
. Следовательно,
PE=EQ
.
Второй способ. Пусть прямая
EM
пересекает прямые
AB
и
BC
в точках
P'
и
Q'
соответственно. Также обозначим
\angle BAE=\angle BLE=\angle BCE=\angle QEQ'=\angle PEP'=\alpha,

\angle ABL=\angle CBL=\angle AP'M=\angle CQ'M=\beta

(эти углы равны как опирающиеся на одну дугу и углы при параллельных прямых). Последовательно применяя теорему синусов к треугольникам
PP'E
,
AP'E
и
AP'M
, получим, что
PE=\frac{P'E\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)}=\frac{AP'\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\beta+\alpha)\sin(\beta-\alpha)}=

=\frac{AM\sin\angle EMA\sin\alpha\sin\beta}{\sin\beta\sin(\beta+\alpha)\sin(\beta-\alpha)}=\frac{AC\sin\angle EMA\sin\alpha}{2\sin(\beta+\alpha)\sin(\beta-\alpha)}.

Аналогично, применяя теорему синусов к треугольникам
QQ'E
,
CQ'E
и
CQ'M
, получим, что
QE=\frac{CM\sin\angle EMC\sin\alpha\sin\beta}{\sin\beta\sin(\beta+\alpha)\sin(\beta-\alpha)}=\frac{AC\sin\angle EMA\sin\alpha}{2\sin(\beta+\alpha)\sin(\beta-\alpha)},

т. е.
PE=QE
. Что и требовалось доказать.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2019, LXXXII, 9 класс