10893. Вневписанная окружность прямоугольного треугольника ABC
касается продолжений катетов AC
и BC
в точках A_{1}
и B_{1}
. Описанная окружность треугольника ABC
пересекает прямую A_{1}B_{1}
в точках A_{0}
и B_{0}
. Найдите угол A_{0}CB_{0}
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Известно, что гипотенуза ABC
— диаметр описанной окружности этого треугольника. Пусть J
— центр вневписанной окружности, касающейся гипотенузы AB
. Тогда CA_{1}JB_{1}
— квадрат, а A_{1}B_{1}
— его диагональ. Будем считать, что A_{0}
лежит между A_{1}
и B_{0}
.
Первый способ. Пусть A_{2}
— точка пересечения прямых AJ
и A_{1}B_{1}
. Точка касания вневписанной окружности с прямой AB
симметрична A_{1}
и B_{1}
относительно прямых AJ
и BJ
соответственно, поэтому
\angle A_{2}JB=\frac{1}{2}\angle A_{1}JB_{1}=45^{\circ}=\angle A_{2}B_{1}B.
Из точек J
и B
, лежащих по одну сторону от прямой A_{2}B
, отрезок A_{2}B
виден под одним и тем же углом, значит, четырёхугольник A_{2}JB_{1}B
вписанный (см. задачу 12), поэтому
\angle JA_{2}B=\angle JB_{1}B=90^{\circ}.
Тогда \angle AA_{2}B=90^{\circ}
, а так как гипотенуза AB
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
, то точка A_{2}
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, а значит, совпадает с точкой A_{0}
. Аналогично, если B_{2}
— точка пересечения прямых BJ
и A_{1}B_{1}
, то точка B_{2}
совпадает с B_{0}
.
При симметрии относительно прямой A_{1}B_{1}
точка C
переходит в точку J
, а угол A_{2}CB_{2}
переходит в угол A_{2}JB_{2}
. Следовательно,
\angle A_{0}CB_{0}=\angle A_{2}CB_{2}=\angle A_{2}JB_{2}=45^{\circ}.
Второй способ. Пусть прямая, проведённая через середину O
гипотенузы AB
параллельно CA
, пересекает отрезок A_{1}B_{1}
в точке A_{3}
, а катет CB
— в точке N
. Как известно,
CB_{1}=\frac{1}{2}(AB+BC+CA)
(см. задачу 1750). Следовательно,
NA_{3}=NB_{1}=CB_{1}-CN=\frac{1}{2}(AB+BC+CA)-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB+CA),
OA_{3}=NA_{3}-NO=NB_{1}-NO=\frac{1}{2}(AB+CA)-\frac{1}{2}CA=\frac{1}{2}AB.
Значит, точка A_{3}
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, поэтому она совпадает с A_{0}
, и тогда OA_{0}\parallel CA
. Аналогично OB_{0}\parallel CB
. Таким образом, центральный угол A_{0}OB_{0}
описанной окружности треугольника ABC
равен 90^{\circ}
. Следовательно, вписанный угол A_{0}CB_{0}
равен 45^{\circ}
.
Примечание. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 296, с. 40
Источник: Журнал «Квант». — 2014, № 4, с. 37
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2014, XX