10903. Дан треугольник ABC
. На продолжении стороны BC
за точку C
выбирается точка X
. Окружности, вписанные в треугольники ABX
и ACX
, пересекаются в точках P
и Q
. Докажите, что все прямые PQ
проходят через некоторую точку, не зависящую от положения точки X
.
Решение. Пусть окружности, вписанные в треугольники ABX
и ACX
, касаются прямой AX
в точках K
и L
соответственно, а прямой BC
— в точках M
и N
соответственно.
Пусть биссектриса угла ABC
пересекает прямую KM
в точке U
. Тогда U
— проекция точки A
на эту биссектрису (см. задачу 58), и поэтому U
не зависит от выбора точки X
. Аналогично, прямая LN
проходит через фиксированную точку V
— проекцию точки A
на биссектрису угла ACX
. Прямые KM
и LN
параллельны, так как они перпендикулярны биссектрисе угла AXB
.
Пусть прямая PQ
пересекает прямые AX
и BC
в точках R
и S
соответственно. Тогда RK=RL
(см. задачу 444) и SM=SN
. Таким образом, PQ
— средняя линия трапеции KLNM
. Значит, прямая PQ
делит пополам любой отрезок, с концами на прямых KM
и LN
, в частности, проходит через фиксированную точку — середину отрезка UV
.