10909. Высоты остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. На отрезках BH
и CH
отмечены точки B_{1}
и C_{1}
соответственно так, что B_{1}C_{1}\parallel BC
. Оказалось, что центр окружности \omega
, описанной около треугольника B_{1}HC_{1}
, лежит на прямой BC
. Докажите, что окружность \Gamma
, описанная около треугольника ABC
, касается окружности \omega
.
Решение. Обозначим через \Gamma'
окружность, описанную около треугольника BHC
. На касательной к \Gamma'
в точке H
отметим точку X
, лежащую внутри угла BCH
. Тогда из параллельности прямых BC
и B_{1}C_{1}
и из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BHX=\angle BCH=\angle B_{1}C_{1}H
Значит, окружность \omega
касается прямой HX
(см. задачу 144) и окружности \Gamma'
в точке H
.
Обозначим через H'
точку, симметричную H
относительно прямой BC
. Эта точка лежит на окружности \Gamma
(см. задачу 4785). При симметрии относительно прямой BC
окружность \Gamma'
переходит в окружность \Gamma
, а окружность \omega
— в себя, поскольку центр \omega
лежит на прямой BC
. Поскольку \omega
касается \Gamma'
, она касается и \Gamma
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2018-2019, XLV, региональный тур, № 4, 9 класс