10920. Дан треугольник ABC
. Пусть I
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB
, а A_{1}
и B_{1}
— точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами BC
и AC
соответственно. Пусть M
— середина отрезка IC
, а отрезки AA_{1}
и BB_{1}
пересекаются в точке N
. Докажите, что точки N
, B_{1}
, A
и M
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
, а первая вневписанная окружность касается прямой BC
в точке K
.
Поскольку KM
— медиана прямоугольного треугольника CKI
, то MK=MC
и
\angle KMC=180^{\circ}-2\angle KCM=180^{\circ}-\angle C
(см. задачу 1109). Значит, при повороте вокруг точки M
, переводящем точку K
в точку C
(на угол \varphi=180^{\circ}-\angle C
), прямая BC
переходит в прямую AC
. При этом, так как
CB_{1}=p-a=BK~\mbox{и}~KA_{1}=KC-CA_{1}=p-(p-b)=b=CA
(см. задачу 4805), точка B
переходит в точку B_{1}
, а точка A_{1}
. Тогда MA=MA_{1}
, MB=MB_{1}
.
У равнобедренных треугольников A_{1}MA
и B_{1}MB
равны углы при общей вершине M
, значит,
\angle MAN=\angle MAA_{1}=\angle MBB_{1}=\angle MB_{1}N,
т. е. из точек B_{1}
и A
, лежащих по одну сторону от прямой MN
, отрезок MN
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки N
, B_{1}
, A
и M
лежат на одной окружности.