10928. Дан прямоугольник ABCD
. На стороне BC
отмечена точка K
, а на стороне CD
— точка L
так, что CK=DL
и \angle DAL=\angle LAK
.
а) Найдите \angle KLA
.
б) Докажите, что биссектрисы углов C
и D
прямоугольника пересекаются на прямой AL
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые AK
и DC
пересекаются в точке E
. Из точки L
опустим перпендикуляр LG
на AE
. Точка L
лежит на биссектрисе угла KAD
, поэтому LG=LD=KC
(см. задачу 1138). Тогда в треугольнике KEL
две высоты равны, значит, этот треугольник равнобедренный с основанием KL
(см. задачу 1136).
а) Пусть \angle KAL=\angle DAL=\alpha
, тогда
\angle KEL=90^{\circ}-2\alpha,~\angle EKL=\frac{1}{2}(180^{\circ}-(90^{\circ}-2\alpha))=45^{\circ}+\alpha.
Поскольку EKL
— внешний внешний угол треугольника KAL
, то \angle KLA=45^{\circ}
б) Треугольник KEL
равнобедренный, поэтому KG=LC
. Тогда
AD+KC=AG+KC=AK+KG+KC=AK+LC+DL=AK+CD,
т. е. в четырёхугольник ADCK
можно вписать окружность (см. задачу 364). Её центр является пересечением биссектрис углов A
, C
и D
четырёхугольника ADCK
, что равносильно утверждению задачи.